Curiosidades Matemáticas
(Albert Einstein)
VOCÊ É CURIOSO? QUER TENTAR? ENTÃO SIGA ABAIXO RESPONDENDO OU OBSERVANDO.
1) Homem Vitruviano
Construção geométrica sobre O Homem de Vitrúvio (1490); Leonardo da Vinci, data: 1490 – Técnica: Lápis e tinta - Dimensão: 34 x 24 cm.
É um desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da Vinci fez ao redor do ano 1490 num dos seus diários. Descreve uma figura masculina desnuda separadamente e simultaneamente em duas posições sobrepostas com os braços inscritos num círculo e num quadrado. A cabeça é calculada como sendo um oitavo da altura total. Às vezes, o desenho e o texto são chamados de Cânone das Proporções.
O Homem Vitruviano é baseado numa numa obra de Marcus Vitruvius Pollio que descreve as proporções do corpo humano.
"Os 4 dedos fazem uma palma e 4 palmas fazem 1 pé, 6 palmas fazem um cúbito; 4 cúbitos fazem a altura de um homem. 4 cúbitos fazem um passo e 24 palmas fazem um homem. Se abrir as pernas até termos descido 1/14 de altura e abrirmos os braços até os dedos estarem ao nível do topo da cabeça então o centro dos membros abertos será no umbigo. O espaço entre as pernas abertas será um triângulo eqüilátero. O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura. Desde as raízes dos cabelos até ao fundo do queixo é um décimo da altura do homem; desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem; desde o topo do peito até ao topo da cabeça é um sexto da altura do homem; desde o topo do peito até às raízes do cabelo é um sétimo da altura do homem; desde os mamilos até ao topo da cabeça é um quarto da altura do homem. A maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. Desde o cotovelo até à ponta dos dedos é um quinto da altura do homem e desde o cotovelo até ao ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do homem. O início dos órgãos genitais marca o centro do homem. O pé é um sétimo do homem. Da sola do pé até debaixo do joelho é um quarto da altura do homem. Desde debaixo do joelho até o início dos órgãos genitais é um quarto do homem. A distância entre o fundo do queixo e o nariz e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma e é, como a orelha, um terço da cara”.
O Homem Vitruviano é baseado numa numa obra de Marcus Vitruvius Pollio que descreve as proporções do corpo humano.
"Os 4 dedos fazem uma palma e 4 palmas fazem 1 pé, 6 palmas fazem um cúbito; 4 cúbitos fazem a altura de um homem. 4 cúbitos fazem um passo e 24 palmas fazem um homem. Se abrir as pernas até termos descido 1/14 de altura e abrirmos os braços até os dedos estarem ao nível do topo da cabeça então o centro dos membros abertos será no umbigo. O espaço entre as pernas abertas será um triângulo eqüilátero. O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura. Desde as raízes dos cabelos até ao fundo do queixo é um décimo da altura do homem; desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem; desde o topo do peito até ao topo da cabeça é um sexto da altura do homem; desde o topo do peito até às raízes do cabelo é um sétimo da altura do homem; desde os mamilos até ao topo da cabeça é um quarto da altura do homem. A maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. Desde o cotovelo até à ponta dos dedos é um quinto da altura do homem e desde o cotovelo até ao ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do homem. O início dos órgãos genitais marca o centro do homem. O pé é um sétimo do homem. Da sola do pé até debaixo do joelho é um quarto da altura do homem. Desde debaixo do joelho até o início dos órgãos genitais é um quarto do homem. A distância entre o fundo do queixo e o nariz e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma e é, como a orelha, um terço da cara”.
(texto que acompanha a gravura do Homem de Vitruvius)
"Meçam a distância do ombro às pontas dos dedos, e então dividam-na pela distância do cotovelo às pontas dos dedos. Outra vez PHI. Mais uma? Anca ao chão a dividir por joelho ao chão. PHI. Articulação dos dedos das mãos. Dos pés. Divisões espinais. PHI, PHI, PHI. Meus amigos, cada um de vocês é um tributo ambulante à Proporção Divina." trecho retirado do livro O Código Da Vinci.
2) A FÓRMULA É DE BHASKARA?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado, pois:
Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase quatro mil anos atrás, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos coeficientes numéricos.
Bhaskara que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes") de seus trabalhos que tratam de aritmética e álgebra respectivamente , e contém numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também como receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso começou a ser feito a partir de François Viete, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2ºgrau.
Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase quatro mil anos atrás, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos coeficientes numéricos.
Bhaskara que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes") de seus trabalhos que tratam de aritmética e álgebra respectivamente , e contém numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também como receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.
Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso começou a ser feito a partir de François Viete, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2ºgrau.
3) A Matemática e o Amor
Resolva a equação abaixo e tenha uma surpresa.
( AM + BC ).X=AM ( X + BOC ) - BCTEResolução da equação Matemática e o Amor
( AM + BC ).X=AM ( X + BOC ) - BCTE
Fazendo mmc no 2º membro e eliminando os denominadores.
AMX + BCX = AMX + AMBOC - BCTE
Aplicando a distributiva
BCX = AMX - AMX + BC ( AMO-TE )
Fator comum
BCX = BC ( AMO - TE )
Isolando o X e simplificando
X = AMO - TE
4) Regra de Pitágoras para calcular o quadrado de um número.
Sabemos que para calcular uma potência basta multiplicar a base o n.º de vezes do expoente, ou seja, por exemplo: 42=4x4=16.
No entanto Pitágoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potências, baseando-se na soma de números ímpares.
Exemplos:
O primeiro número ímpar é 1 então 12=1
Os primeiros dois números ímpares são 1 e 3, então 22=1+3
Os primeiros três números ímpares são 1, 3 e 5, então 32=1+3+5
Os primeiros quatro números ímpares são 1, 3, 5 e 7, então 42=1+3+5+7 e assim sucessivamente
Se pretendêssemos calcular 92 teríamos que 92=1+3+5+7+9+11+13+15+17=81 isto é, 92 é igual à soma dos primeiros 9 números ímpares.
No entanto Pitágoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potências, baseando-se na soma de números ímpares.
Exemplos:
O primeiro número ímpar é 1 então 12=1
Os primeiros dois números ímpares são 1 e 3, então 22=1+3
Os primeiros três números ímpares são 1, 3 e 5, então 32=1+3+5
Os primeiros quatro números ímpares são 1, 3, 5 e 7, então 42=1+3+5+7 e assim sucessivamente
Se pretendêssemos calcular 92 teríamos que 92=1+3+5+7+9+11+13+15+17=81 isto é, 92 é igual à soma dos primeiros 9 números ímpares.
5) Charada de Einstein
No final do século passado, Einstein propôs um problema que, segundo ele, 98% das pessoas não seriam capazes de resolver.
Há cinco casas de diferentes cores. Em cada casa mora uma pessoa de uma nacionalidade diferente. Os cinco proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm diferentes animais de estimação. A questão é quem tem um peixe?
O inglês vive na casa vermelha.
O sueco tem cachorros.
O dinamarquês bebe chá.
A casa verde fica à esquerda da casa branca.
O dono da casa verde bebe café.
O homem que fuma Pau Mali cria pássaros.
O dono da casa amarela fuma Dunhill.
O dono da casa do centro bebe leite.
O norueguês vive na primeira casa.
O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos.
O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.
O alemão fuma Prince.
O norueguês vive ao lado da casa azul.
O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.
DICA 1: Desenhe 5 casas em linha. Abaixo de cada casa escreva as características de cada uma. Pelos pontos 9 e 14, descobre-se logo que o norueguês fica na 1ª casa e que a 2ª casa é azul.
DICA 2: Pelo ponto 8, concluí-se que a casa do meio não é verde, porque o da casa verde bebe café(ponto 5), então a casa verde é a 4ª casa e a 5ª casa é branca. A casa vermelha não pode ser a primeira (ver pontos 1 e 9), então é a 3ª e a 1ª casa é amarela.
DICA 3: O da 1ª casa fuma Dunhill (ponto 7) e o da 2º casa cria cavalos(ponto 11). O inglês vive na 3ª casa(ponto1).
DICA 4: O sueco não pode viver na 2ª casa(ponto 2), restam duas hipóteses, ou vive na 4ª ou na 5ª casa. Suponhamos que vive na 5ª casa. Então, o dinamarquês vive na 2ª casa e o alemão na 4ª casa (ponto 3).
DICA 5: Os cachorros estão na 5ª casa(ponto 2), o da 4ª casa fuma Prince(ponto 13), o da 2ª casa bebe chá(ponto 3), na 3ª e 5ª casa não se fuma Blends(ponto 15), então o da 2ª casa fuma Blends.
DICA 6: O da 1ª casa bebe água(ponto 15), o da 5ª casa fuma Bluemaster e bebe cerveja(ponto 12), o da 3ª casa fuma Pau Mali e cria pássaros(ponto 6), o da 1ª casa tem gatos(ponto 10) e, finalmente, o que tem o peixe vive na 4ª casa.
SOLUÇÃO:
A 1ª casa é amarela, habitada pelo norueguês que bebe água, fuma Dunhill e tem gatos.
A 2ª casa é azul, habitada pelo dinamarquês que bebe chá, fuma Blends e cria cavalos.
A 3ª casa é vermelha, habitada pelo inglês que bebe leite, fuma Pau Mali e tem pássaros.
A 4ª casa é verde, habitada pelo alemão que bebe café, fuma Prince e tem peixes.
A 5ª casa é branca, habitada pelo sueco que bebe cerveja, fuma Bluemaster e cria cachorros.
6)2 + 2 = 5 é possível?
Existem muitas curiosidades da matemática que podem assustar algumas pessoas. Uma delas é a demonstração a seguir.
Obviamente existe algum erro na seqüência da demonstração!
Você é capaz de descobrir o erro?
Suponha que existam dois números reais x e y , ambos diferentes de zero tais que:
x = y
x² = y²
7.x² = 7.y²
2.x² + 5.x² = 2.y² + 5.y²
2.x² – 2.y² = 5.y² – 5.x²
2.(x² – y²) = 5.x² – 5.x.y , pois y²= x² e x² = x . x = x . y
2.(x – y).(x + y) = 5.x.(x – y) 2.(x + y) = 5.x , pois os dois lados da equação foram divididos por (x-y)
2.x + 2.x = 5.x, pois x = y
x. (2 + 2) = 5.x ,os dois lados serão divididos por x
2 + 2 = 5 , como queríamos mostrar !
RESPOSTA
A demonstração é feita com base em argumentos de álgebra básica, mas com um único erro na passagem onde os 2 termos da igualdade foram divididos por (X - Y).
Da primeira linha temos que:
X = Y, que resulta em X - Y = 0 ,quando a incógnita Y é "passada" para o lado esquerdo da igualdade.
E sabe-se que a divisão por zero não é possível.
Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:Partindo do número 84: 84+48=132;132+231=363, que é um número capicua.
8) A história do grau
Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Boyer, C.B. História da matemática. São Paulo, Edgar Blucher, 1974.
Eves, H. Introdução à história da matemática. São Paulo, Editora da Unicamp, 1995.
A matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de matemática, SBM, 1996.
http://www.almanaque.cnt.br/paradoxos.htm
http://www.bbc.com/portuguese/curiosidades/2016/05/160510_ilusao_otica_lab
https://pt.wikipedia.org/wiki/Homem_Vitruviano_(desenho_de_Leonardo_da_Vinci)
http://www.somatematica.com.br/historia/grau.php
